Центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник делит его высоту в отношении 10:3 а боковая сторона равно 60 . Найти периметр треугольника .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть высота треугольника равна h, а длина основания (боковой стороны) равна 60.

Так как центр окружности вписанной в треугольник делит высоту в отношении 10:3, то высоту треугольника можно разбить на два отрезка, длины которых будут 10h/13 и 3h/13.

Пусть A — вершина треугольника, B и C — вершины основания. Тогда проведем высоту из вершины A, которую обозначим через H.

Так как треугольник ABC — равнобедренный, то точка пересечения высоты H и биссектрисы угла при вершине A совпадают и являются центром вписанной окружности. Пусть O — центр вписанной окружности.

Таким образом, отрезки OH, HB и HC являются радиусами вписанной окружности.

Поскольку OH делит высоту треугольника в отношении 10:3, получаем, что OH = 10h/13, HB = 10h/13, HC = 3h/13.

Поскольку треугольник OHA — прямоугольный, то по теореме Пифагора:

OA^2 = OH^2 + AH^2
OA^2 = (10h/13)^2 + h^2

С другой стороны, OA — радиус вписанной окружности, и можно выразить его через площадь треугольника и полупериметр:

OA = S / P,
где S — площадь треугольника, P — полупериметр треугольника.

Так как площадь треугольника равна S = 1/2 h 60 = 30h, а периметр треугольника равен P = 60 + 2 * OA = 60 + 2S / P, то получаем:

OA = 30h / (30 + P)

Теперь можно приравнять два выражения для OA:

(30h / (30 + P))^2 = (10h/13)^2 + h^2
900h^2 / (30 + P)^2 = 100h^2 / 169 + h^2
169 900h^2 = 100h^2 (30 + P)^2 + 169h^2 * (30 + P)^2

Отсюда можно найти полупериметр P, и зная его, вычислить периметр треугольника.