Плоскость α проходит через верхнее основание ВС трапеции АВСD. Докажите, что любая прямая, лежащая в плоскости α и параллельная прямой ВС, параллельна прямой АD. Точки М и N - середины боковых сторон. Найдите АD, если BC=8, MN=12.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия мы знаем, что точки М и N - середины боковых сторон ВС и AD соответственно. Значит, МN параллельна BC и равна половине BC (по свойству середины отрезка). То есть MN=4.

Так как MN параллельна базе BC трапеции, то MN также параллельна ее верхнему основанию AD (так как прямая, параллельная одной из сторон трапеции, параллельна другой стороне). Получаем, что MN параллельна AD.

Значит, прямая, лежащая в плоскости α и параллельная прямой BC, также параллельна прямой AD.

Итак, мы доказали, что любая прямая, лежащая в плоскости α и параллельная прямой ВС, параллельна прямой АD.

Теперь рассмотрим треугольник АMN. Из условия MN=4, AM=MN=4, AN=MN=4. Значит, треугольник АMN - равнобедренный по стороне AN.

Таким образом, угол А равен углу M, который является основным углом равнобедренного треугольника.

Поскольку AM=AN, то треугольник АMN еще и равносторонний. Значит, угол А равен 60 градусов.

Таким образом, мы получили, что трапеция ABCD - равнобедренная, и угол A равен 60 градусов. Поскольку угол ABC также равен 60 градусов (так как BC параллельна АD), то треугольник ABC - равносторонний.

Следовательно, длина стороны AD равна 8, умноженная на корень из 3 (равносторонний треугольник).

Итак, AD=8*√3.