Ребро правильного октаэдра равно 2. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого служат центры граней данного октаэдра. Ответ округлите до десятых

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем расстояние между центрами граней октаэдра.

Рассмотрим одну из граней октаэдра. Эта грань - правильный треугольник со стороной, равной ребру октаэдра. Так как у правильного треугольника центр описанной окружности совпадает с центром масс, то центр грани октаэдра совпадает с центром масс треугольника. Таким образом, центр грани находится на расстоянии одной третьей от вершины высоты треугольника.

По теореме Пифагора находим, что расстояние между центрами граней октаэдра:
sqrt(2^2 - (2/3)^2) = sqrt(4 - 4/9) = sqrt(20/9) = 2*sqrt(5)/3.

Таким образом, площадь поверхности многогранника равна 8 площадь одной грани, где площадь одной грани равна sqrt(3)/4 (расстояние между центрами граней)^2 = sqrt(3)/4 (2sqrt(5)/3)^2 = 2*sqrt(15)/3.

Ответ: 8 2sqrt(15)/3 = 16*sqrt(15)/3 ≈ 9.2.