Треугольник ABC. Углы ABC=2ACB. Докажите что, AB+BC <2AC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть угол ACB равен x. Тогда угол ABC равен 2x.
Также, угол CAB равен 180 - 3x (сумма углов в треугольнике).

Из условия, углы ABC и ACB образуют угол, равный 180 - x, так как они составляют дополнительные углы друг другу.

Таким образом, мы можем записать:

AB/BC = sin(ABC)/sin(ACB) = sin(2x)/sin(x) = 2sin(x)cos(x)/sin(x) = 2cos(x)

Докажем, что 2cos(x) < 2.

cos(x) = sqrt(1-sin^2(x))
Так как sin(x) меньше 1, то cos(x) больше 0 и меньше 1.

Поэтому, cos(x) < 1,
Таким образом, 2cos(x) < 2.

AB+BC = AC (AB/BC) = AC 2cos(x) < 2AC

Таким образом, AB+BC < 2AC.