Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точка О — центр грани ABCD. Используя метод координат, найдите угол между прямыми ВО и A1D.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала определим координаты точек куба:
Пусть сторона куба равна a

Тогда координаты точек куба следующие:
A(0, 0, 0)
B(a, 0, 0)
C(a, a, 0)
D(0, a, 0)
A1(0, 0, a)
B1(a, 0, a)
C1(a, a, a)
D1(0, a, a)
O(a/2, a/2, 0)

Теперь найдем направляющие векторы прямых:

Прямая BO:
Вектор BO = OB = (a, a/2, 0) - (a/2, a/2, 0) = (a/2, 0, 0)

Прямая A1D:
Вектор A1D = AD1 = (0, a, a) - (a, 0, a) = (-a, a, 0)

Теперь найдем скалярное произведение векторов BO и A1D:
BO ⋅ A1D = (a/2 -a) + (0 a) + (0 * 0) = -a^2

Теперь найдем длины векторов BO и A1D:
|BO| = √(a/2)^2 = a/2
|A1D| = √(-a)^2 + a^2 = √(2a^2) = a√2

Теперь найдем косинус угла между прямыми BO и A1D:
cos(θ) = (BO ⋅ A1D) / (|BO| |A1D|) = (-a^2) / ((a/2) (a√2)) = -2 / √2 = -√2 / 2

Теперь найдем угол между прямыми:
θ = arccos(-√2 / 2) ≈ 135°

Таким образом, угол между прямыми ВО и A1D составляет примерно 135 градусов.