Сторона АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС продолжена за точку В на отрезок ВD , равный АВ . Докажите , что высоты ВН и ВЕ треугольника АВС и ВСD взаимно перпендикулярны

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что по условию треугольник ABC равнобедренный с основанием AC и, следовательно, углы напротив равных сторон равны - ∠В = ∠С.

Посмотрим на треугольник ABC. Пусть точка H - основание высоты из вершины B. Так как треугольник ABC равнобедренный, то BH = CH. Также угол BAC = 90 градусов (поскольку высота перпендикулярна основанию). Из подобия треугольников BHB и BAC следует, что BH^2 = HB HC.
Аналогично, для треугольника DBC: BD^2 = BD CD.

Докажем взаимную перпендикулярность высот. Пусть E - точка пересечения высот. По теореме Пифагора для треугольников HBE и HEA:
HE^2 = HB^2 + BE^2
HE^2 = HB HC + BE^2
HE^2 = BD^2 + BE^2
HE^2 = BD CD + BE^2
HE^2 = BE^2

Отсюда получаем, что BE = HE, что означает, что высота в треугольнике ABC и треугольнике BCD перпендикулярны.