Найти расстояние от точки D (5;2;7) до плоскости,проходящей через точки А(1;3;2) В(3;2;1) С(-3;7;2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти расстояние от точки D до плоскости, проходящей через точки A(1;3;2), B(3;2;1) и C(-3;7;2), можно воспользоваться уравнением плоскости в пространстве.

Сначала найдем уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C. Для этого вычислим векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости:

AB = B - A = (3 - 1, 2 - 3, 1 - 2) = (2, -1, -1)
AC = C - A = (-3 - 1, 7 - 3, 2 - 2) = (-4, 4, 0)

Найдем векторное произведение AB и AC:
n = AB x AC = (2, -1, -1) x (-4, 4, 0) = (-4, 2, 6)

Теперь найдем уравнение плоскости:
n • (r - A) = 0
где n - найденный вектор нормали к плоскости, r - произвольная точка на плоскости, A - одна из точек на плоскости.

Подставляем значение в уравнение и находим уравнение плоскости:
-4(x - 1) + 2(y - 3) + 6(z - 2) = 0
-4x + 4 + 2y - 6 + 6z - 12 = 0
-4x + 2y + 6z - 14 = 0
4x - 2y - 6z + 14 = 0

Теперь найдем расстояние от точки D до этой плоскости. Для этого используем формулу:
d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2),
где A, B, C коэффициенты уравнения плоскости, D = 14.

Подставляем значения:
d = |45 - 22 - 6*7 + 14| / sqrt(4^2 + (-2)^2 + (-6)^2) = |20 - 4 - 42 + 14| / sqrt(16 + 4 + 36) = |-12| / sqrt(56) ≈ 2.12

Итак, расстояние от точки D до плоскости, проходящей через точки A, B и C, равно приблизительно 2.12.