Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD равны и пересекаются в точке F. Докажите, что прямая, соединяющая середины сторон ВС и AD, перпендикулярна биссектрисе угла

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Возьмем середины сторон ВС и AD и обозначим их как M и N соответственно. Также обозначим середину диагонали AC как E.

Так как диагонали AC и BD равны, то треугольники ACF и BCF равны по стороне-углу-стороне. Из этого следует, что угол AFC равен углу BFC.

Так как диагонали пересекаются в точке F, то точка E является серединой диагонали AC. Таким образом, EM равно AM.

Также, так как диагонали пересекаются в точке F, то точка N является серединой диагонали BD. Таким образом, FN равно DN.

Из равенства треугольников AMF и CMF следует, что угол AMF равен углу CMF. А из равенства треугольников DNF и BNF следует, что угол DNF равен углу BNF.

Таким образом, углы AMF и CMF равны, а углы DNF и BNF также равны. Но угол AMF равен углу DNF, так как они оба равны углу AFC. Значит, угол CMF равен углу BNF.

Таким образом, треугольники CEM и NBM равны по стороне и двум углам. Из этого следует, что CM равно BN.

Теперь рассмотрим четырехугольник BMNC. Так как BN равно CM, а MN - общая сторона, то у него две равные стороны. Значит, он является параллелограммом и прямая MN параллельна прямой BC.

Из равенства треугольников AMF и CMF также следует, что MF равен FE.

Из параллельности MN и BC, а также равенства углов MFN и CBE следует, что прямая MN перпендикулярна прямой BE.

Таким образом, прямая, соединяющая середины сторон ВС и AD, перпендикулярна биссектрисе угла BCD.