В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AL. Найдите AL, если BL=b и CL=c.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AL=x.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то у него равны BL и CL, следовательно, BL=CL=b.

Также из равнобедренности треугольника следует, что углы ABC и ACB равны, и биссектриса AL является высотой и медианой этого треугольника. Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABL:

AB^2 = AL^2 + BL^2
AB^2 = x^2 + b^2

и в прямоугольном треугольнике ACL:

AC^2 = AL^2 + CL^2
AC^2 = x^2 + c^2

Так как AC=2x (так как треугольник равнобедренный), то:

(2x)^2 = x^2 + c^2
4x^2 = x^2 + c^2
3x^2 = c^2
x^2 = c^2/3

Теперь подставляем это значение в уравнение с прямоугольного треугольника ABL:

b^2 = x^2 + b^2
b^2 = c^2/3 + b^2
c^2/3 = 0
c^2 = 0

Получаем, что AL = c/√3.