Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. При последовательном соединении середин его сторон образуется параллелограмм. Найдите условия, при которых этот параллелограмм будет прямоугольником

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы параллелограмм, образованный соединением середин сторон четырёхугольника, был прямоугольником, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были равными и перпендикулярными.

Пусть M, N, P, Q - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Тогда, если MN = PQ и NP = MQ, то параллелограмм будет прямоугольником.

Докажем это:
Поскольку M, N, P, Q - середины сторон, то MQ = NP = (1/2)AB, NP = MQ = (1/2)BC, PQ = MN = (1/2)CD, и QP = NM = (1/2)DA.
Из равенства MQ = NP и NP = MQ следует, что треугольник MQP равен треугольнику PNM, а значит, у них противоположные стороны будут параллельными. Аналогично для треугольников PQN и MNP. Это означает, что параллелограмм MNPQ является прямоугольником.

Таким образом, условиями, при которых параллелограмм, образованный соединением середин сторон четырёхугольника, будет прямоугольником, являются равенство длин его диагоналей и равенство половин сторон четырёхугольника.