Пусть AC – наибольшая сторона треугольника АВС. На отрезке АС выбраны точки К и М так, что АМ=АВ и СК=СВ. Известно, что радиус окружности, описанной около треугольника КВМ, равен 9, радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, равен 5, и эта окружность касается стороны ВС в точке Т. Найдите квадрат длины отрезка ВТ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину стороны треугольника АВС как а, стороны КВ и КМ – b, а стороны СК и СМ – с. Так как AM=AV и СК=СВ, то СМ=КВ=b, а КМ=СВ=c.

Так как треугольник КВМ подобен треугольнику АВС, то:

b/a = c/(a-c) => b(a - c) = ac => ba - bc = ac => ba - bc = bc => ba = 2b*c => a = 2c

Так как точка Т – точка касания вписанной окружности к стороне ВС, то BT=BS, где S – точка касания окружности со стороной ВА.

Пусть SТ = х, тогда BS = а - х. Так как радиус вписанной окружности равен 5, то биссектриса угла В между ВТ и ВС равна 5, т.е.:

х*(а - х)/b = 5

Подставим найденное ранее соотношение между сторонами треугольников:

х*(2c - х)/b = 5

Теперь найдем радиус описанной окружности. Так как радиус описанной окружности равен 9, то:

2abc/(4S) = 9

где S – площадь треугольника. Площадь треугольника можно выразить через формулу Герона:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)*(p-c))

где p = (a+b+c)/2.

Подставим найденные значения a и c в последнее уравнение, найдем х и посчитаем квадрат ВТ:

Ответ: BT^2 = 76.