Диагонали трапеции делят ее среднюю линию на три отрезка, один из которых равен 3 см. Найдите среднюю линию трапеции, если большее основание равно 14 см. сколько решений имеет задача.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть средняя линия трапеции равна ( x ), а большее основание равно 14 см. Тогда меньшее основание равно ( x - 6 ) (так как 3 см + 3 см = 6 см).

Запишем свойство диагоналей трапеции: сумма квадратов ее диагоналей равна сумме квадратов средней линии и разности оснований:
[ d_1^2 + d_2^2 = x^2 + (14 - x + 6)^2, ]
где ( d_1 ) и ( d_2 ) - диагонали трапеции.

Так как трапеция - выпуклый четырехугольник, то сумма длин двух сторон должна быть больше длины третьей стороны: ( 2x > 14 - x + 6 ), откуда ( x > 4 ).

Решив уравнение, получим:
[ x^2 + (14 - x + 6)^2 = 3^2 + 3^2, ]
[ x^2 + (20 - x)^2 = 18, ]
[ x^2 + 400 - 40x + x^2 = 18, ]
[ 2x^2 - 40x + 382 = 0. ]

Дискриминант этого уравнения равен ( 40^2 - 4 \cdot 2 \cdot 382 = 3600 - 3048 = 552 ). Поскольку дискриминант положителен, задача имеет два действительных корня.

Таким образом, средняя линия трапеции равна одному из двух корней уравнения ( 2x^2 - 40x + 382 = 0 ).