Найти множество точек плоскости, сумма квадратов расстояний которых до сторон прямоугольника постоянна, при условии, что этому множеству принадлежит одна из вершин прямоугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть дан прямоугольник со сторонами a и b, и одной из его вершин является точка A(x0, y0).

Множество точек плоскости, сумма квадратов расстояний которых до сторон прямоугольника постоянна, состоит из двух прямых, проходящих через точку A и параллельных сторонам прямоугольника.

Пусть уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной стороне прямоугольника со стороной a, имеет вид y = mx + c
Тогда расстояние от точки (x, y) до этой прямой равно |mx - y + c| / sqrt(m^2 + 1)
Аналогично, для прямой, параллельной стороне прямоугольника со стороной b, расстояние от точки (x, y) до этой прямой равно |mx - y + d| / sqrt(m^2 + 1).

Таким образом, сумма квадратов расстояний от точки (x, y) до сторон прямоугольника будет равна константе k
(k1)^2 = (mx - y + c)^2 / (m^2 + 1) + (k2)^2 = (mx - y + d)^2 / (m^2 + 1)
где k1 и k2 - константы расстояний от точки (x, y) до противоположных сторон прямоугольника.

Таким образом, для каждой вершины прямоугольника можно составить систему уравнений для нахождения точек на прямых, удовлетворяющих условию суммы квадратов расстояний.