Точка М,не лежащая в плоскости квадрата ABCD,одинаково удалена от его вершин А и С.Доказать, что АС перпендикулярна плоскости ВМD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства перпендикулярности отрезка AC плоскости VMD воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

Пусть точка M равноудалена от вершин A и C квадрата ABCD. Тогда длина отрезка AM равна длине отрезка CM.

Так как точка M лежит вне плоскости квадрата ABCD, а отрезок AC лежит в этой плоскости, то можно построить прямую, проходящую через точку M и перпендикулярную плоскости ABCD. Обозначим точку пересечения этой прямой с прямой AC как P.

Так как точка M равноудалена от вершин A и C, то треугольник AMP равнобедренный. То же самое можно сказать и о треугольнике CMP.

Таким образом, углы AMP и CMP равны, а значит, прямые AM и CM совпадают. Следовательно, точка P совпадает с точкой M, и отрезок AC лежит в плоскости VMD.

Таким образом, отрезок AC перпендикулярен плоскости VMD.