Из точки М проведен перпендикуляр МВ, равный 4 см, к плоскости прямоугольника ABCD. Угол MAB=45 градусов, угол MCB=30 градусов. 1. Докажите, что треугольники MAD и MCD прямоугольные. 2. Найдите стороны прямоугольника ABCD. 3. Докажите, что треугольник BDC является проекцией треугольника MDC на плоскость прямоугольника, и найдите его площадь.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку угол MAB=45° и угол MCB=30°, то угол ACD = 90° (так как MCD прямая), следовательно, треугольники MAD и MCD прямоугольные.

Так как MAD и MCD прямоугольные, то MD = MA и MC = MD = 4 см. Из прямоугольности треугольника MAD следует, что угол MAD = 45°, а из условия угол MCB = 30°, следовательно, угол MCD = 45°. Таким образом, треугольник MCD равнобедренный. Тогда в прямоугольнике ABCD AM = AB = 8/2 = 4√2 см, AD = CD = 4 см.

Треугольник BDC является проекцией треугольника MDC на плоскость прямоугольника ABCD, поэтому он имеет все стороны равные соответствующим сторонам треугольника MDC. Таким образом, BD = DC = 4 см и BC = 8 см. Площадь треугольника BDC равна S = 1/2 BD BC = 1/2 4 8 = 16 см^2.