Из точки М проведен перпендикуляр МВ , равный 4 см, к плоскости прямоугольника АВСD.Наклонные МА и МС образуют с плоскостью прямоугольника углы в 45º и 30º соответственно. а) докажите, что треугольники МAD и MDC прямоугольные; б) найдите стороны прямоугольника;

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для доказательства прямоугольности треугольников MAD и MDC посмотрим на углы, образованные их сторонами.

Угол MAD равен 45º, так как наклонная MA образует с плоскостью прямоугольника угол 45º.
Угол MDC равен 90º, так как наклонная MC образует с плоскостью прямоугольника угол 30º.

Таким образом, у треугольника MAD есть прямой угол, а у треугольника MDC есть угол, равный 90º. Следовательно, треугольники MAD и MDC прямоугольные.

б) Обозначим стороны прямоугольника как AB = a, BC = b.

Так как MB — высота прямоугольника, то треугольник MAB равнобедренный, потому что катеты перпендикулярного треугольника равны. Поэтому MA = MB = 4 см.

Так как угол BAD = 45º, то треугольник BAD — равнобедренный. Значит, BA = AD = a.

Далее, так как угол ADC = 30º, то в прямоугольном треугольнике MDC смежный с ним угол MAD = 90 - 30 = 60º.
Тогда, по теореме синусов, найдем сторону CD: a/sin(60) = 4/sin(30) => a = 4sin(60)/sin(30) = 2a => a = 3,46 см.
Учитывая, что AD = a, получаем, что a = 3,46 см. Также, учитывая, что BC = a, получаем, что BC = 3,46 см.