Окружность с центром О, вписанная в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, касается стороны ВС в точке К, причём СК:ВК=5:8. Найдите площадь треугольника, если его периметр равен 72.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину стороны треугольника как а, сторона AC равна a, сторона AB равна b. Пусть радиус вписанной окружности равен r.

Так как окружность вписана в треугольник, она касается сторон треугольника под прямым углом. Тогда точка касания К делит сторону ВС в отношении СК:VK=5:8, и у нас есть треугольник VKC, где CK=5x, VK=8x.

С учетом этого, VC=13x. Также, VK+KC=VC. Тогда, VK+KC=VC=13x. VK=19/3x=8x, x=3/19. Значит, СК=CK=5x=15/19.

Рассмотрим прямоугольник, построенный на основании треугольника, это прямоугольник с шириной 13x и высотой 56x. Соответственно, его площадь равна S=2ar, где a=13x, b=56x.

Периметр треугольника равен 72=a+b+13x. Зная, что VK+VC=18x=13x+5x=72-13x, мы можем выразить b=56x.

Тогда, S=182x²=218xr, S=182(9/19)²=182(81/361)=40,6.