В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим площади треугольников ABS, BCS и ACS через S1, S2 и S3 соответственно. Тогда площадь треугольника ABC равна сумме этих площадей: 2 = S1 + S2 + S3.

Также, площадь треугольника ABS равна половине произведения стороны BS на высоту, опущенную из вершины A. Аналогично для треугольников BCS и ACS. Тогда S1 = 0.5 BS AS, S2 = 0.5 CS BS, S3 = 0.5 AS CS.

Из формулы для объема пирамиды, зная, что S = 0.5 AB h, получаем: h = V 3 / S = 6 3 / 2 = 9. Также, из формулы для объема пирамиды V = 1/3 S h, где S - площадь основания пирамиды, получаем: 6 = 1/3 2 9 => S = 3.

Теперь можем подставить полученные значения в уравнение 2 = S1 + S2 + S3 и получить, что S1 = S2 = S3 = 1. Тогда получаем, что длина отрезка OS равна высоте в треугольнике SAB, опущенной из вершины S, и равна 2/3 * h = 6.

Итак, длина отрезка OS равна 6.