Докажите тождество sin2a+cos2a=1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой двойного угла для синуса и косинуса:

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)

sin(2a) + cos(2a) = 2sin(a)cos(a) + cos^2(a) - sin^2(a)

Раскрываем sin^2(a) как (1 - cos^2(a)):

2sin(a)cos(a) + cos^2(a) - (1 - cos^2(a))

Упростим:

2sin(a)cos(a) + cos^2(a) - 1 + cos^2(a)
= 2sin(a)cos(a) + 2cos^2(a) - 1

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin^2(a) + cos^2(a) = 1:

2sin(a)cos(a) + 2cos^2(a) - 1
= 2cos(a)(sin(a) + cos(a)) - 1
= 2cos(a)(sin(a) + cos(a)) - 1

Получили, что sin(2a) + cos(2a) равно 1, что и требовалось доказать.