В окружность радиуса R вписана трапеция, вершины которой делят окружность в отношении 2:3:2:5. Найдите площадь трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть O - центр окружности, A, B, C и D - точки в которых трапеция касается окружности. Пусть E, F, G и H - точки пересечения окружности с отрезками AO, OB, OC и OD соответственно.

Так как отношение, в котором вершины трапеции делят окружность, равно 2:3:2:5, то углы между A и B, B и C, C и D, D и A равны градусами: 40°, 60°, 40° и 100° соответственно.

Так как углы на том же дуге окружности равны, получаем, что угол AOC равен 80°, угол BOD равен 200°.

Так как CE = EA и GF = FB, по теореме о касательных имеем, что угол COE = OCE = 40° и угол BOF = OFB = 100°.

Из прямоугольных треугольников CEO и BFO следует, что BC = 2R cos 40°, AB = 2R sin 40°, BC + AB = 2R.

Из AB = 2R sin 40° следует, что R = AB / (2 sin 40°).

Площадь ABRM равна (AB + MR) OX и для вписанного треугольника OWK площадь равна OK sin BOW OW = R sin 40° 2 R = 2R^2 * sin 40°.

Так как площадь прямоугольного треугольника BRF равна BR RF / 2 = R^2 sin 40° cos 40° = R^2 sin 80° / 2, то AMRN = 2R^2 sin 40° sin 80°.

Тогда Sтрапеции = SABRM - SOWK = 2R^2 sin 40° - 2R^2 sin 40° sin 80° = 2R^2 sin 40° (1 - sin 80°) = AB^2 / (2 sin 40°) (1 - 2 sin 40° cos 40°) = 1/2 AB^2.