Около окружности описан треугольник ABC, окружность касается стороны AB в точке D. Как доказать, что p=b+x (p - полупериметр, b=AC, x=BD)?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства равенства p = b + x нам необходимо воспользоваться тем, что точка касания окружности к стороне треугольника перпендикулярна радиусу окружности, проведенному к данной точке.

Пусть O - центр описанной окружности, r - радиус этой окружности, AD = r (так как точка D касается окружности), OD = r.

Тогда из треугольника ADO получаем, что треугольник ADO равнобедренный и AD = DO = r.

Теперь из треугольника ABD по теореме Пифагора получаем:
AB^2 = AD^2 + BD^2 => AB^2 = r^2 + x^2.

Аналогично из треугольника BCD:
BC^2 = CD^2 + BD^2 => BC^2 = r^2 + x^2.

Теперь объединяем выражения для AB и BC:
AB^2 - BC^2 = 0 => (AB + BC)(AB - BC) = 0.

Так как AB и BC - все положительные величины, то AB = BC, что и требовалось доказать.