Диагонали ромба ABCD равны 16 и 12.Через точку пересечения диагоналей O проведена высота ромба FE (E принадлежит BC? F принадлежит AD)Через точки E и F проведены прямые ,параллельные AC до пересечения со сторонами AB и CD в точках M и K соответственно. 1.Докажите,что MEKF-примоугольник 2.Найдите диагонали этого прямоугольника 3.Найдите площадь прямоугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку FE - высота ромба, она проходит через центр O, следовательно, OE = EO. Также, по свойствам ромба, EM = MF. Учитывая, что углы ромба равны, получаем, что треугольники EOM и FOM равнобедренные, а значит, угол EMF = углу MEF = углу MFE = 90 градусов, то есть MEKF - прямоугольник.

Пусть точки M, K делят стороны AB и CD на отрезки AM = MB = x и KD = KC = y соответственно. Тогда по свойствам параллелограмма и прямоугольника MEKF получаем, что EF = MK = x+y, а EM = MF = MK/2 = (x+y)/2. Диагонали прямоугольника MEKF равны EF = x+y и MK = EF/2 = (x+y)/2.

Площадь прямоугольника MEKF равна произведению его диагоналей, то есть S = EFMN = (x+y)(x+y)/2 = (x^2 + 2xy + y^2)/2.