Около прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AB описана окружность. Расстояние от точки A до касательной, проходящей через точку C, в три раза меньше расстояния от точки B до тойжекасательной.Чему равен угол ABC?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим расстояния от точек A и B до касательной как d и 3d соответственно.
Пусть точка O - центр описанной окружности, тогда расстояние от O до касательной равно радиусу окружности.
Так как треугольник ABC является прямоугольным, то он остроугольный в точке C.
Также можно заметить, что треугольник AOC и треугольник BOC являются подобными, так как оба являются прямоугольными и имеют общий угол O.
Отсюда получаем, что d/3d = OA/OB, или OB = 3*OA.
Так как AB - гипотенуза, то в треугольнике AOB прямой угол находится напротив гипотенузы, и следовательно, треугольник AOB - прямоугольный.
Отсюда следует,что в треугольнике AOB, рядом с прямым углом, угол ABC - катет, а угол BAC - катет. Следовательно угол ABC = 90 градусов.