На стороне BC прямоугольника ABCD взята точка E.Докажите,что площадь прямоугольника равна удвоенной площади треугольника AED.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Построим высоту AF к стороне BC. Тогда площадь прямоугольника ABCD равна сумме площадей треугольников AEF и BEF:

S(ABCD) = S(AEF) + S(BEF)

Так как прямоугольник, треугольник AEF и треугольник BEF имеют общее основание EF, а высота всех трех фигур равна AF, то можно записать:

S(ABCD) = 1/2 AE AF + 1/2 BE AF

S(ABCD) = 1/2 AF (AE + BE)

S(ABCD) = 1/2 AF AB

Также заметим, что треугольник AED и треугольник AEF подобны, а значит:

AE/AD = AE/AE = EF/AF

Из этого следует, что AE = EF * AD / AF

Подставим это значение AE в формулу площади треугольника AED:

S(AED) = 1/2 EF AD AF / AF = 1/2 AD * EF

Теперь сравним площади прямоугольника и треугольника:

S(ABCD) = 1/2 AF AB

S(AED) = 1/2 AD EF

Так как прямоугольник ABCD можно разрезать вертикальным сегментом на два треугольника, то площадь прямоугольника равна удвоенной площади треугольника AED:

S(ABCD) = 2 * S(AED)

Что и требовалось доказать.