В треугольную пирамиду, все ребра которой равны между собой, вписан шар, радиус которого равен корень из трех. Найдите объем пирамиды

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона треугольника, образующего основание пирамиды, равна a, тогда высота пирамиды равна h = sqrt(a^2 - (a/2)^2) = sqrt(3a^2/4) = a*sqrt(3)/2.

Объем пирамиды V = (1/3) S_основания h, где S_основания - площадь основания пирамиды.

Так как все ребра пирамиды равны между собой, то площадь основания равна S_основания = (a^2 * sqrt(3))/4.

Тогда объем пирамиды V = (1/3) (a^2 sqrt(3))/4 (asqrt(3)/2) = a^3 * sqrt(3) / 12.

Так как радиус вписанного шара равен корень из трех, диагональ основания пирамиды равна 2r = 2sqrt(3), т.е. a = 2sqrt(3)/sqrt(3) = 2.

Итак, V = 2^3 sqrt(3) / 12 = 8 sqrt(3) / 12 = 2 * sqrt(3).

Ответ: объем пирамиды равен 2 * sqrt(3).