В треугольнике ABC известно, что угол С=90 градусов, AC=5, BC=12. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем площадь треугольника ABC. Поскольку угол С=90 градусов, то треугольник является прямоугольным. Поэтому площадь треугольника равна (AC BC) /2 = (5 12) / 2 = 30.

С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через радиусы окружностей, вписанной и описанной около треугольника:

S = rp = (p / 2)R,

где r - радиус вписанной окружности, p - полупериметр треугольника, R - радиус описанной окружности.

Полупериметр треугольника равен p = (AB + BC + CA) / 2 = (5 + 12 + 13) / 2 = 15,

откуда S = 15r = 30.

Зная, что площадь треугольника равна 30, мы можем решить систему уравнений:

15r = 30,
r = 2.

Теперь, чтобы найти расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружности, можно воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой 2R и катетами R и R:

(R + R)^2 = (2R)^2 - R^2,
4R^2 = 4R^2 - R^2,
R = 3.

Таким образом, расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружности равно 3.