Центр шара описанного около правильной четырехугольной пирамиды делит ее высоту в отношении 5:3 считая от вершины. найдите величину угла наклона бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть высота пирамиды равна h, тогда расстояние от центра шара до вершины пирамиды равно 5h/8, а до основания - 3h/8.

Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды, одной из ее боковых граней и радиусом описанной около пирамиды сферы. Так как радиус сферы является высотой треугольника, а его сторона равна половине бокового ребра пирамиды, мы можем использовать теорему косинусов:

cos(угол) = (2r)^2 + (3h/8)^2 - h^2 / (2 2r 3h/8)

cos(угол) = 4r^2 + 9h^2 / 12rh

cos(угол) = 4r/3h + 9h/4r

По формуле радиуса описанной сферы для правильной пирамиды, где a - сторона основания пирамиды:

r = (3√2 * a) / (4√3)

Подставим это значение радиуса в формулу для cos(угол):

cos(угол) = 4 3√2 a / 3h + 9h / (4 (3√2 a) / (4√3))

cos(угол) = 12√2a / 3h + 9h 4√3 / (3√2 a)

cos(угол) = 4√2a / h + 12√3a / h

cos(угол) = 4(√2 + 3√3)a / h

cos(угол) = (4√2 + 12√3)a / h

Таким образом, величина угла наклона бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания равна arccos((4√2 + 12√3)a / h).