В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) длина средней линии MN равна 6 (М принадлежит АВ, N принадлежит ВС), а синус угла ВАС равен 4/5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник MBN.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через h высоту треугольника ABC, проведенную из вершины C. Так как треугольник ABC – равнобедренный, то h также является медианой и биссектрисой.

Из условия видим, что:
AB = BC = x,
AC = 2x,
MN = 6,
sin(∠BAC) = sin(∠BMC) = 4/5.

Так как треугольник ABC является равнобедренным, то угол BAC равен 36 градусам (половина от 72 градусов) и угол BMC также равен 36 градусам. Теперь рассмотрим треугольник BNM, в котором мы знаем два угла: 36 градусов и 72 градуса. Так же в нем легко можно найти угол при вершине M, который также равен 72 градусам.

Из заключительной теоремы о косинусах мы знаем:

BN^2 + NM^2 - 2BNNM*cos(72) = BM^2

NM = 6,
cos(72) = 1/5,
BN = BC/2 = x/2

36^2 + 6^2 - 2пx/2 36 = BM^2

BM = 18

Обозначим радиус окружности как R. Теперь по формуле:

S = pr = p(AB+BC+AC)/2 = p3x/2,
S = p(BN + BM + MN)/2 = p(6+18+x/2)/2

Отсюда следует:

p(6+18+x/2)/2 = p3x/2,
6+18+x/2 = 3x,
12 = 3/2 x,
x = 8

Теперь можем найти высоту h по формуле пифагора:
h^2 = 64 - 16 = 48, h = 4*sqrt(3).

Наконец, рассмотрим равнобедренный треугольник BMC, в котором h служит высотой. Используем теорему о вписанном угле и условие равнобедренности треугольника BMC:

cot(∠MBC) = cot(72) = tang(72)/2 = sqrt(5)-2
tg(∠CMR) = 2,
tg(∠CMR) = h/R
R = h/tg(72) = 2*tsqrt(3)

Ответ:
Радиус окружности, вписанной в треугольник MBN равен 2*sqrt(3).