Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника ABC проведен к его плоскости перпендикуляр KO. Докажите, что наклонные KA, KB и KC равны. Вычислите длины проекций этих наклонных на плоскости треугольника, если AC=BC=a.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку точка О лежит на середине гипотенузы AB, то треугольник AOB - прямоугольный, причем OA=OB=AB/2.

Поскольку KO перпендикулярен гипотенузе AB, отрезки KA и KB равны между собой (они равны радиусам окружностей, описанных вокруг треугольников AOK и BOK с центром в точке O).

Итак, KA=KB.

Так как треугольник ABC равнобедренный, точка O также является основанием высоты, опущенной из вершины C.

Следовательно, отрезок OC проходит через O и перпендикулярен гипотенузе AB. Точка О - середина гипотенузы AB, поэтому треугольник COB также прямоугольный, при этом OC=OB=AB/2.

Таким образом, KC=KB=KA=AB/2.

Теперь вычислим длины проекций наклонных на плоскость треугольника. Для этого рассмотрим треугольник AKB.

В данном треугольнике угол AKB прямой, поэтому проекция наклонной KA на плоскость треугольника ABC равна KA*cos(BAC), где BAC - угол между KA и горизонтальной проекцией KA.

Поскольку угол BAC равен 45 градусам (так как треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный), а KA=AB/2=a/2, то проекция KA на плоскость треугольника ABC равна (a/2)cos(45)=a/(2sqrt(2)).

Аналогично вычисляются проекции KB и KC на плоскость треугольника ABC. Получим, что проекции всех наклонных на плоскость треугольника ABC равны a/(2*sqrt(2)).

Итак, наклонные KA, KB и KC равны между собой, и их проекции на плоскость треугольника ABC равны a/(2*sqrt(2)).