Найдите радиус описаного около правильного треуголиника и вписаного в него окружностей , если их разница равна 7 см .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус описанной окружности равен R, а радиус вписанной окружности равен r. Тогда разность радиусов этих окружностей будет равна R - r = 7 см.

Для правильного треугольника верно, что радиус описанной окружности равен R = a / (2 * sin(60°)), где a - сторона треугольника.

Также для правильного треугольника верно, что радиус вписанной окружности равен r = a / (2 * tan(30°)).

Подставим данные выражения для R и r в уравнение R - r = 7:

a / (2 sin(60°)) - a / (2 tan(30°)) = 7.

Упростим это уравнение, зная, что sin(60°) = √3 / 2 и tan(30°) = 1 / √3:

a / (√3) - a / 1 = 7.

a * (1 - √3) / √3 = 7.

a = 7 * √3 / (1 - √3).

Теперь найдем радиус вписанной окружности r:

r = a / (2 tan(30°)) = (7 √3 / (1 - √3)) / (2 1 / √3) = 7 / (2 (1 - √3)).

Таким образом, радиус описанной окружности R = 7 √3 / (1 - √3) см, а радиус вписанной окружности r = 7 / (2 (1 - √3)) см.