Написать уравнение гиперболы, с фокусами (-5;10) и (5;10), проходящей через точку (-6: 4√3)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления уравнения гиперболы воспользуемся формулой:

(\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} = \pm \sqrt{(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 \pm d}),

где (x0; y0) и (x1; y1) - координаты фокусов, а d - расстояние между фокусами. Так как фокусы у нас отличаются только по x, то d = 10.

Зная координаты точки, через которую проходит гипербола, подставляем ее в уравнение:

(\sqrt{(-6-(-5))^2 + (4\sqrt{3}-10)^2} = 10)

(\sqrt{1^2 + (4\sqrt{3}-10)^2} = 10)

(\sqrt{1 + 48 - 80\sqrt{3} + 100} = 10)

(\sqrt{149 - 80\sqrt{3}} = 10).

Теперь полученные значения подставляем в уравнение гиперболы:

(\sqrt{(x + 5)^2 + (y - 10)^2} = \sqrt{(x - 5)^2 + (y - 10)^2 + 100}).

Упрощая уравнение, получаем:

((x + 5)^2 = (x - 5)^2 + 100),

(x^2 + 10x + 25 = x^2 - 10x + 25 + 100),

(20x = 100 + 100),

(x = 10).

Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид:

((x + 5)^2 - (y - 10)^2 = 100).