Основанием пирамиды MABCD является прямоугольник ABCD. Ребро MВ перпендикулярно плоскости основания.Перпендикулярно ребру MB через его середину проведена плоскость , пересекающая прямую AD в точке K.Найдите отрезок DK, если AB=1см, BC=6см, MD=4см
(Желательно решать через векторы )

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим рисунок, чтобы было более наглядно:

M - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - B*****K*DC- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A

Обозначим векторы:

(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix})(\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ -4 \end{pmatrix})(\overrightarrow{MD} = \begin{pmatrix} 0 \ -4 \ 4 \end{pmatrix})(\overrightarrow{BM} = \begin{pmatrix} 0 \ 4 \ -4 \end{pmatrix})Найдем вектор (\overrightarrow{KD}):
Пусть (\overrightarrow{KD} = k \overrightarrow{BM})Так как K лежит на прямой AD, то (\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AD} + k \overrightarrow{AB})Так как K лежит на плоскости MBD (простейший вектор напрямую перпендикулярен этой плоскости), то и (\overrightarrow{CK} = -\overrightarrow{BM})Из условия, что K лежит на прямой AD, получаем:
[ \begin{pmatrix} -1 \ 0 \ -4 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 0 \ 4 \ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \ 0 \ -4 \end{pmatrix} ]Таким образом, получаем уравнения:
[ -k = -5, k = 5 ]Теперь можем найти (\overrightarrow{KD}):
[ \overrightarrow{KD} = 5 \overrightarrow{BM} = 5 \begin{pmatrix} 0 \ 4 \ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 20 \ -20 \end{pmatrix} ]

Таким образом, отрезок DK равен 20 см.