Треугольник ABC – прямоугольный с прямым углом C. Биссектриса угла A пересекает сторону CB в точке K. Известно, что AC = 6, AB = 10. Чему равна площадь треугольника KAB?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку треугольник ABC — прямоугольный, то можно воспользоваться теоремой Пифагора:
AC^2 + AB^2 = BC^2
6^2 + 10^2 = BC^2
36 + 100 = BC^2
136 = BC^2
BC = √136 = 2√34

Теперь найдем площади треугольников ABC и KAB. Площадь треугольника равна половине произведения длины биссектрисы на длину соответствующей стороны.
Площадь треугольника ABC:
S_ABC = 0.5 AC BC = 0.5 6 2√34 = 6√34

Теперь найдем площадь треугольника KAB. Поскольку треугольники ABC и KAB имеют общую биссектрису, отношение площадей этих треугольников равно отношению сторон, составляющих эту биссектрису:
S_KAB / S_ABC = KB / BC
S_KAB = S_ABC * KB / BC

Так как треугольник KAB — подобен треугольнику ABC, то KB = AB^2 / BC = 100 / 2√34 = 50 / √34

Подставляем все значения:
S_KAB = 6√34 50 / √34 = 6 50 = 300

Площадь треугольника KAB равна 300.