Точка взятая на гипотенузе прямоугольного треугольника и одинаково удаленная от его катетов, делит гипотенузу на отрезки 30 и 40. Тогда больший катет этого прямоугольного треугольника равен: а)20корней из 10 б) 56 в)40корней из 3 г)64 д)65

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

В данной задаче мы имеем прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Точка M делит гипотенузу на отрезки 30 и 40, следовательно, AM = 30 и MB = 40.

Из условия задачи мы можем записать два уравнения:

a^2 = 30^2 + x^2
b^2 = 40^2 + x^2,

где x - расстояние от точки M до катетов.

Так как точка M одинаково удалена от катетов, то a - b = 10.

Сложим уравнения для катетов и получим:

a^2 + b^2 = 30^2 + 40^2 + 2x^2,
(a - b)^2 = 10^2,
a^2 + b^2 - 2ab = 100.

Подставим второе уравнения в третье и разрешим относительно ab:

30^2 + 40^2 + 2x^2 - 100 = 100,
900 + 1600 + 2x^2 - 100 = 100,
2x^2 = 100,
x = 5√5.

Теперь найдем катеты:

a = √(30^2 + 5^2) = √(900 + 25) = √925 = 5√37,
b = √(40^2 + 5^2) = √(1600 + 25) = √1625 = 5√65.

Больший катет равен 5√65, что соответствует ответу d) 65.