В кубе ABCDA1B1C1D1 через вершины A, C1 и середину ребра DD1 проведено сечение. Найти длину ребра, если площадь сечения 50 корень из 6.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину ребра куба как а. Так как оно соединяет вершины А и D, то отрезок АD является диагональю грани куба, и его длина равна a√2.

Поскольку сечение проходит через вершины A, C1 и середину ребра DD1, то оно параллельно грани куба и является прямоугольным треугольником со сторонами AD, DC1 и DD1. Площадь треугольника можно найти по формуле S = 1/2 a√2 h, где h - высота, опущенная из вершины D на сторону AD.

Таким образом, площадь треугольника равна 1/2 a√2 h = 50√6.

Высоту h можно найти, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника DD1C1:

h = √(DC1^2 - DD1^2) = √((a√2)^2 - (a/2)^2) = √(2a^2 - a^2/4) = √(8a^2/4 - a^2/4) = √(7a^2/4) = a√7/2.

Теперь мы можем выразить площадь треугольника через длину ребра a и решить уравнение:

1/2 a√2 a√7/2 = 50√6,

a^2 * √(14/4) = 50√6,

a^2 * √(7/2) = 50√6,

a^2 = (50√6 / √(7/2))^2,

a = 50√6 / √(7/2).

Упрощая выражение, получаем:

a = 50√6 / √(7/2) = 50√6 / √(14) = 50√6 / (√2√7) = 50√3.

Таким образом, длина ребра куба равна 50√3.