Дан параллелограмм ABCD. Биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке K, а биссектриса угла ACD пересекает сторону AD в точке P. Докажите, что APCK-параллелограмм

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что в треугольнике ABC биссектриса угла BAC делит угол BAC на два равных угла, аналогично в треугольнике ACD биссектриса угла ACD делит угол ACD на два равных угла.

Поскольку угол BAC равен углу ACD (они смежные вертикальные углы), то угол ABK равен углу ADP (они равны как половины одного угла).

Следовательно, углы ABK и ADP равны, а значит, углы AKP и AKB также равны (они дополнительные к равным углам ABK и ADP).

Теперь посмотрим на треугольник AKP. Как мы уже установили, углы AKP и AKB равны, а углы KAP и KBA являются вертикальными углами, следовательно, они равны.

Таким образом, треугольник AKP равен треугольнику KBA по двум углам и общей стороне AK.

Отсюда следует, что сторона AP равна стороне KB, а сторона AC равна стороне BP.

Поскольку AP равна KB и AC равна BP, то треугольник APB равен треугольнику KBC по стороне и двум углам.

Значит, угол APB равен углу KCB и угол ACB.
Докажем, что угол APC равен углу KCD:
Угол APC=угол APB+угол CPC=угол KCB+ угол ACD,
другой вариант:
т.к. AKP=KBC угол BAP=ABC дают
угол APC=APB+ CPC=KBC+BCD=KCB+BCD=KCD