Точка В середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек М, для каждой их которых: АМ^2+2BM^2+3CM^2=4.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка А имеет координаты (a, 0), точка С имеет координаты (-a, 0), а точка М имеет координаты (x, y).

Так как точка В является серединой отрезка АС, то ее координаты равны (0, 0).

Тогда расстояние между точками А и М равно √((x-a)^2 + y^2), между точками В и М равно √(x^2 + y^2), а между точками С и М равно √((x+a)^2 + y^2).

Таким образом, уравнение данного нам соотношения примет вид:

(x-a)^2 + 2(x^2 + y^2) + 3(x+a)^2 = 4,

x^2 - 2ax + a^2 + 2x^2 + 2y^2 + 3x^2 + 6ax + 3a^2 = 4,

6x^2 + 2y^2 + 4a^2 + 4ax = 4,

6x^2 + 2y^2 = 4 - 4a^2 - 4ax,

3x^2 + y^2 = 2 - 2a^2 - 2ax.

Из данного уравнения следует, что множество всех точек М, удовлетворяющих заданному условию, является эллипсом с центром в точке (0, 0) и полуосями a = √(2/3) и b = √(2/3), то есть все точки внутри этого эллипса будут удовлетворять условию АМ^2 + 2BM^2 + 3CM^2 = 4.