Докажите что угол между бессиктрисами острых углов прямоугольного треугольника равен 145°

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами бессекрисс.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, прямой угол у которого лежит напротив вершины C. Проведем биссектрисы углов A и B, обозначим их точки пересечения с гипотенузой как D и E соответственно.

Так как AD - биссектриса угла A, то угол CAD равен углу BAD. Аналогично, так как BE - биссектриса угла B, то угол CBE равен углу CBA.

Теперь обратим внимание на трапецию ABCD. Углы CAD и CBA являются смежными и равными, так как это биссектрисы углов A и B. Следовательно, у этой трапеции два угла, сумма которых равна 180°.

Так как угол CAD равен углу CBA, то оставшиеся два угла этой трапеции, ADC и ABC, также равны между собой и составляют 90°. Однако угол ABC равен 90°, так как треугольник ABC - прямоугольный.

Имеем, что угол ADC равен 45°. Аналогично можно показать, что угол EBD также равен 45°.

Таким образом, угол между бесикстриксами равен 180° - 45° - 45° = 90°.