Окружность радиусов R и r (R>r) касаются некоторой прямой. Линия центров пересекает эту прямую под углом 30* . Найдите расстояние между центрами окружностей.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть центр большей окружности расположен в точке O, а центр меньшей окружности - в точке O'. Пусть точка касания большей окружности с прямой - A, а точка касания меньшей окружности с прямой - A'.

Так как линия центров окружностей пересекает прямую под углом 30*, то треугольник OO'A' является равносторонним. Тогда OA' = O'A' = r и O'A = R.

Проведем радиус O'B, где B - точка касания прямой с меньшей окружностью.

Так как OA' = r и OO' = R - r, то O'B = OO' + OA' = R.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник OAO'. Из него получаем:

OA = O'A + AA' = R + r,
OO' = R - r,
OO = AA' = r + Rcos(30) = r + R(√3)/2,
OA = OA' + AA' = R + r.

Теперь можно применить теорему Пифагора к треугольнику OAO':

(OA)^2 = (OO')^2 + (OO)^2,
(R + r)^2 = (R - r)^2 + (r + R(√3)/2)^2,
R^2 + 2Rr + r^2 = R^2 - 2Rr + r^2 + r^2 + R^23/4 + Rr√3.

Упростим выражение:

4Rr = R^23/4 + Rr√3,
16Rr = 3R^2 + 4Rr√3,
16Rr - 4Rr√3 = 3R^2,
R(16 - 4√3)r = 3R^2.

Таким образом, расстояние между центрами окружностей равно:

R = 3(r*(√3) - 2r).