Диагонали трапеции abcd с основаниями ad и bc пересекаются в точке о. Периметры треугольников boc и aod относятся как 2:3, ac=20. Найдите длины отрезков ao и oc.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину отрезка AO как х, а длину отрезка OC как у.

Так как периметры треугольников BOC и AOD относятся как 2:3, то их стороны также относятся как 2:3. Так как AC является общей стороной этих треугольников, то BD = 2/3 AC = 2/3 20 = 40/3.

Так как AD параллельна BC, то BCO и DAO подобны, следовательно, отношение сторон этих треугольников равно отношению длин диагоналей трапеции:
BC / AO = OC / AD

Отсюда получаем, что BC = 60/3 = 20, тогда BC / OC = 20 / y и AO / AD = x / 40/3.

Учитывая, что AO + OD = AD и OC + OB = BC, получим систему уравнений:

x / 40/3 = 20 / y
x + 40/3 = 20

Решая данную систему уравнений, найдем, что x = 10 и y = 12.

Итак, длины отрезков AO и OC равны 10 и 12 соответственно.