Найдите основание AD равнобедренной трапеции ABCD, если BC=6см.,боковая сторона CD=3см., угол B = 120 градусов,A=60 градусов,С=D=90 градусов.Найти:сколько AD?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку трапеция ABCD равнобедренная, то ее основания AD и BC равны.

Также из условия дано, что BC = 6 см, CD = 3 см, угол B = 120 градусов, угол A = 60 градусов, угол C = 90 градусов.

Известно, что в равнобедренной трапеции диагонали, проведенные к основаниям, равны и перпендикулярны. Поэтому имеем следующие равенства углов: ABD = CAD = 30 градусов.

Также из треугольника BCD найдем угол D и использовав свойства параллельных между AD и BC найдем AD.

По теореме косинусов для треугольника BCD:
BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2BCCDcos(D)
BD^2 = 6^2 + 3^2 - 263cos(120)
BD^2 = 45
BD = sqrt(45) = 3*sqrt(5) см

Теперь рассмотрим треугольник ABD:
AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2ABBDcos(30)
AD^2 = AB^2 + 45 - 3sqrt(5)AB0.5
AB^2 + 45 - sqrt(5)*AB = AD^2

Теперь рассмотрим треугольник ACD:
AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2ACCDcos(30)
AD^2 = AC^2 + 9 - 3AC0.5
AC^2 - 1.5AC + 9 = AD^2

Из двух полученных уравнений найдем значение основания AD:

AB^2 + 45 - sqrt(5)AB = AC^2 - 1.5AC + 9
AB^2 + 45 - sqrt(5)AB - AC^2 + 1.5AC - 9 = 0
AB^2 - AC^2 - sqrt(5)AB + 1.5AC + 36 = 0

(AC - AB - 1.5)(AC + AB + sqrt(5)) = 0

Так как основание AD не может быть отрицательным, т.к. это длина, а значит нужно выбрать корень уравнения:

AB + AC = 1.5
AB = AC - 1.5

AD = 2*AC - 1.5

Подставим значение AC из уравнения треугольника ACD:
(2AC - 1.5)^2 - 1.5(2AC - 1.5) + 9 = AD^2
4AC^2 - 6AC + 2.25 - 3AC + 2.25 + 9 = AD^2
4AC^2 - 9AC + 13.5 = AD^2

С другой стороны, из теоремы косинусов для треугольника ACD:
AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2ACCD*cos(C)
AD^2 = (3)^2 + AC^2 - 0
AD^2 = 9 + AC^2

4AC^2 - 9AC + 13.5 = 9 + AC^2
3AC^2 - 9AC + 4.5 = 0
AC^2 - 3*AC + 1.5 = 0
Корни уравнения: AC = 0.75 и AC = 2.25

Так как AC = CD = 3 см, следовательно AD = 2*3 - 1.5 = 4.5 см.

Итак, длина основания AD равнобедренной трапеции ABCD равна 4.5 см.