В правильной четырехугольной пирамиде угол между апофемой и плоскостью основания равен α. Бисектриса этого угла пересекает высоту пирамиды в точке M и равен d. Определите боковую поверхность пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи обозначим высоту пирамиды как h, длину стороны основания как a, апофему как l.

Так как бисектриса угла между апофемой и плоскостью основания делит его пополам, то у нас получается прямоугольный треугольник AMO, где MO = d/2, AO = l/2, AM = h. Так как бисектриса делит угол на два равных угла, то угол AOM равен α/2.

Из прямоугольного треугольника AMO можем записать:
sin(α/2) = MO / AM
sin(α/2) = d / (2h)

Отсюда находим h:
h = d / (2 * sin(α/2))

Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды. Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех треугольников. Площадь одного из них можно найти по формуле:
S = 0.5 a l.

Так как у пирамиды четыре боковых треугольника, то общая площадь боковой поверхности равна:
S = 4 0.5 a l = 2 a * l

Подставляем значение апофемы l = sqrt(h^2 + (a/2)^2):
S = 2 a sqrt(h^2 + (a/2)^2)