Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и стягивает в одном круге дугу в 90°, а в другом— дугу в 120°. Определить площадь общей части кругов (Рассмотрите два случая).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Первый случай: Пусть общая хорда делит круги на дуги по 90° и 120°.
Обозначим радиусы кругов как R и r. Тогда из геометрических свойств мы знаем, что общая хорда равна разности двух радиусов: a = |R - r|.
Площадь сегмента круга может быть найдена как разность площадей сектора и треугольника, образованного радиусом и хордой. Для одного круга с углом 90° площадь сегмента составит S1 = (πR^2/4 - (1/2)R^2sin90°) = (3π/8)R^2.
Для другого круга с углом 120° площадь сегмента будет S2 = (πr^2/3 - (1/2)r^2sin120°) = (11π/24)r^2.
Общая площадь сегментов будет равна S = S1 + S2 = (3π/8)R^2 + (11π/24)r^2.
Определим R и r через a:
R = r + a,
r = R - a.
Таким образом, S = (3π/8)(r^2 + 2ar + a^2) + (11π/24)(R^2 - 2aR + a^2) = π(a^2/3 + ar + 2r^2 + 2aR + R^2).
S = π(a^2 + 3ar + 6r^2 + 6aR + 3R^2)/3.
Для второго случая: Пусть общая хорда делит круги на дуги по 120° и 90°.
Тогда S = π(a^2 + 3ar + 6r^2 + 3aR + R^2)/3.
Таким образом, мы нашли общую площадь сегментов для обоих случаев.