Основание AB равнобедренного треугольника ABC равно 12 см , его медианы AM и BK пересекаются в точке O и угол AOB =120 ° . Найдите эти медианы

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов.

Пусть длина медианы AM равна а, а длина медианы BK равна b.

Треугольник АОВ также является равнобедренным (так как АВ - основание равнобедренного треугольника), поэтому угол АОВ = 60°.

Применим теорему косинусов к треугольнику АОВ:
cos(60°) = (a^2 + a^2 - 2a^2cos(120°)) / (2aa)
1/2 = (2a^2 + a^2) / (2a^2)
1 = 3 + a^2 / a^2
0 = 2a^2
a = 0 или a = ±√2

Так как длина сторон треугольника не может быть нулевой, имеем a = ±√2.

Аналогично рассчитаем медиану BK:
cos(60°) = (b^2 + b^2 - 2b^2cos(120°)) / (2bb)
1/2 = (2b^2 + b^2) / (2b^2)
1 = 3 + b^2 / b^2
0 = 2b^2
b = 0 или b = ±√2

Таким образом, длины медиан AM и BK равны ±√2 см.