1)Докажите, что если окружности радиусов r и R с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке K , а прямая касается этих окружностей в различных точках A и B и пересекается с общей касательной, проходящей через точку K , в точке C, то ∠ AKB =90 и ∠ O1CO2= 90 , а отрезок AB общей внешней касательной окружностей равен отрезку общей внутренней касательной, заключённому между общими внешними, и равен 2 Rr . 2) Докажите, что если прямые, проходящие через точку A, касаются окружности S в точках B и C, то центр вписанной окружности треугольника ABC лежит на окружности S .
1)Докажите, что если окружности радиусов r и R с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке K , а прямая касается этих окружностей в различных точках A и B и пересекается с общей касательной, проходящей через точку K , в точке C, то ∠ AKB =90 и ∠ O1CO2= 90 , а отрезок AB общей внешней касательной окружностей равен отрезку общей внутренней касательной, заключённому между общими внешними, и равен 2 Rr . 2) Докажите, что если прямые, проходящие через точку A, касаются окружности S в точках B и C, то центр вписанной окружности треугольника ABC лежит на окружности S .
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Подробнее
1) Посмотрим на треугольник АКВ, где В - точка пересечения общей внешней касательной и прямой, проходящей через точку К. Так как прямая касается обеих окружностей, то угол ВАК равен углу КАВ. Также радиусы окружностей перпендикулярны касательным в точках касания. Таким образом, угол ВКА равен 90 градусов, что означает, что угол AKB равен 90 градусов. По той же логике, угол O1CK и угол O2CK также равны 90 градусов. Таким образом, ∠ O1CO2 = 90.
Кроме того, отрезок AB - это диаметр окружности, описанной около треугольника АКВ, и проходит через центр этой окружности. Поэтому AB равен 2R (диаметр окружности R) и является гипотенузой треугольника O1O2С. Отрезок CK - это радиус описанной окружности, построенной около треугольника АКВ, и проходит через точку K. Поэтому CK равен r (радиус окружности r) и является катетом треугольника O1O2С. Используя теорему Пифагора для треугольника O1O2С, получим: (2R)^2 = (2Rr)^2 + r^2, откуда 4R^2 = 4R^2r^2 + r^2, или 4R^2 = r^2 (4R^2 + 1), что доказывает, что отрезок AB равен 2Rr.
2) Пусть прямая, проходящая через точку А, касается окружности S в точках В и С. Тогда, по свойству касательных, угол ВАС будет прямым углом, так как радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания. Пусть O - центр окружности S.
Так как угол ВАС прямой, то он опирается на диаметр окружности S, проходящий через точки В и С. Значит, центр вписанной окружности треугольника АВС должен лежать на окружности S. Таким образом, мы доказали, что центр вписанной окружности треугольника ABC лежит на окружности S.