Даны координаты вершин пирамиды АВСD: А (2; 1; 0), В (3; -1; 2), С (13; 3; 10), D (0; 1; 4). 1) найти площадь грани АВС; 2) найти объем пирамиды ABCD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Для того, чтобы найти площадь грани АВС, можно воспользоваться формулой площади треугольника по координатам вершин:

S = (1/2) * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|

Где (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) - координаты вершин треугольника.

Подставим координаты вершин А, B, C в формулу:

S = (1/2) |2(-1 - 3) + 3(3 - 1) + 13(1 - (-1))|
S = (1/2) |2(-4) + 3(2) + 13(2)|
S = (1/2) |-8 + 6 + 26|
S = (1/2) 24
S = 12

Площадь грани АВС равна 12.

2) Для того, чтобы найти объем пирамиды ABCD, можно воспользоваться формулой объема пирамиды по площади основания и высоте:

V = (1/3) S h

Где S - площадь основания (грани АВС), h - высота пирамиды.

Для нахождения высоты пирамиды можно провести высоту из вершины D на плоскость АВС и найти расстояние до грани АВС.

Для этого воспользуемся формулой:

h = |Ax (By - Cy) + Bx (Cy - Ay) + Cx (Ay - By) + Dx (Ay Bz - Az By) + Dy (Az Bx - Ax Bz) + Dz (Ax By - Ay Bx)| / (2 * S)

Подставим все необходимые координаты в формулу:

h = |2 (-1 - 3) + 3 (3 - 1) + 13 (1 - (-1)) + 0 (1 10 - 0 3) + 1 (0 13 - 2 10) + 4 (2 3 - 1 13)| / (2 12)
h = |-8 + 6 + 26 + 0 + 1 (-20) + 4 * (-25)| / 24
h = 28 / 24
h = 7 / 6

Теперь подставим все в формулу для объема:

V = (1/3) 12 7/6
V = 14

Объем пирамиды ABCD равен 14.