Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если площаль его полной поверхности в три раза больше площади основания.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть S - площадь основания конуса, а L - площадь его полной поверхности. Тогда условие задачи можно записать в виде уравнения:

L = 3S

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади его основания и площади боковой поверхности. Поскольку боковая поверхность конуса представляет собой сметричное окружение осевого сечения под углом θ к основанию, площадь боковой поверхности можно выразить через радиус основания R и угол θ:

Sбок = πRl

где l - образующая конуса. Из геометрических соображений известно, что l = √(R^2 + h^2), где h - высота конуса. Площадь боковой поверхности можно тогда переписать в виде:

Sбок = πR*√(R^2 + h^2)

Площадь полной поверхности по условию равна:

L = S + πR*√(R^2 + h^2)

Таким образом, уравнение для конуса:

L = S + πR*√(R^2 + h^2) = 3S

S + πR*√(R^2 + h^2) = 3S

πR*√(R^2 + h^2) = 2S

Sбок = πR*√(R^2 + h^2) = 2S

Sбок = 2S

πR*√(R^2 + h^2) = 2S

Распишем выражение для Sбок, подставив известные значения:

πR*√(R^2 + h^2) = 2S

πR*√(R^2 + h^2) = 2S

(по условию L = 3S)

Разделим оба равенства друг на друга:

2S = 2S

Таким образом, угол при вершине осевого сечения конуса равен 90 градусов.