Окружность, вписанная в треугольник, точкой касания делит одну из сторон на отрезки, равные 3 и 4, а противолежащий этой стороне угол равен 120. Найдите площадь треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть треугольник ABC имеет стороны a, b и c, а окружность вписана в него с точкой касания в точке D. Тогда согласно свойству вписанной окружности, отрезки AD, BD и CD являются радиусами окружности. Пусть AD = CD = 3 и BD = 4.

Так как угол CAD = угол BAC / 2 и угол ABD = угол ABC / 2, то угол CAD + угол ABD + угол BDA = 360, откуда получаем, что угол BAC + угол ABC = 120.

Так как угол BAC + угол ABC = 120, и угол ABC = угол ABD, то угол ABD = угол BAC / 2 = 60 градусов. Следовательно, треугольник ABD является равносторонним.

Отсюда получаем, что a = b = 4 + 4 = 8, а c = 6.

Площадь треугольника ABC равна S = (a + b)*h / 2, где h - высота, ведущая из вершины C до основания треугольника ABC, перпендикулярно стороне c. Так как треугольник ABD является равносторонним, h = AD = 3.

S = (8*6) / 2 = 24.

Ответ: площадь треугольника равна 24.