Диагональ AC трапеции ABCD делит ее на два подобных треугольника. Докажите, что AC в квадрате =a*b, где а и b- основание трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть дана трапеция ABCD, где AB и CD - основания, а AD и BC - боковые стороны.

Так как AC делит трапецию на два подобных треугольника, то у них соответственно равные углы. Пусть точка пересечения диагоналей - точка M.

Тогда по косинусовой теореме в треугольнике AMC:
AC^2 = AM^2 + MC^2 - 2AMMCcos(∠AMC).

По свойству трапеции AM = MD и MC = MB, и угол ∠AMC = ∠DMB, поэтому cos(∠AMC) = cos(∠DMB).

Так как треугольники AMD и BMD подобны, то MD/MB = AD/DB = AM/MB, отсюда MD*MB = AM^2.

Подставим это значение в формулу для AC^2:
AC^2 = AM^2 + MC^2 - 2AMMCcos(∠AMC) = MDMB + MBMC - 2MDMBcos(∠DMB) = MB^2.

Но MB = a, значит AC^2 = a^2, что равно площади трапеции: S = (a+b)h/2 = a*(h2/(2a)), где h2 - высота трапеции.

Таким образом, AC^2 = a*b.