В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1 из­вест­ны AB=2, AD=AA1=1. Най­ди­те угол между пря­мой AB1 и плос­ко­стью ABC1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через α угол между прямой AB1 и плоскостью ABC1. Рассмотрим треугольник AB1C1. В этом треугольнике известны стороны AB=2, AB1=1 и угол между ними α.

Применим теорему косинусов к треугольнику AB1C1:

cos(α) = (AB^2 + AB1^2 - AC1^2) / (2 AB AB1)
cos(α) = (2^2 + 1^2 - AC1^2) / (2 2 1)
cos(α) = (4 + 1 - AC1^2) / 4
cos(α) = (5 - AC1^2) / 4

Также, так как ABC1 - прямоугольный параллелепипед, то AC1 = BC = AB, т.е. AC1 = 2. Подставляем AC1 = 2 в уравнение для косинуса:

cos(α) = (5 - 2^2) / 4
cos(α) = (5 - 4) / 4
cos(α) = 1 / 4
α = arccos(1/4)

Таким образом, угол между прямой AB1 и плоскостью ABC1 равен arccos(1/4) или примерно 75.52 градусов.